Мы начнем с простейшего случая, так называемого чистого изгиба.
Чистый изгиб есть частный случай изгиба, при котором в сечениях балки поперечная сила равна нулю. Чистый изгиб может иметь место только в том случае, когда собственный вес балки настолько мал, что его влиянием можно пренебречь. Для балок на двух опорах примеры нагрузок, вызывающих чистый
изгиб, представлены на рис. 88. На участках этих балок, где Q = 0 и, следовательно, М= const; имеет место чистый изгиб.
Усилия в любом сечении балки при чистом изгибе сводятся к паре сил, плоскость действия которой проходит через ось бал-ки, а момент постоянен.
Напряжения могут быть определены на основании следую-щих соображений.
1. Касательные составляющие усилий по элементарным пло-щадкам в поперечном сечении балки не могут быть приведены к паре сил, плоскость действия которой перпендикулярна к пло-скости сечения. Отсюда следует, что изгибающее усилие в сече-нии является результатом действия по элементарным площадкам
лишь нормальных усилий, а потому при чистом изгибе и напряжения сводятся только к нормальным.
2. Чтобы усилия по элементарным площадкам свелись только к паре сил, среди них должны быть как положительные, так и отрицательные. Поэтому должны существовать как растянутые, так и сжатые волокна балки.
3. Ввиду того, что усилия в различных сечениях одинаковы, то и напряжения в соответственных точках сечений одинаковы.
Рассмотрим какой-либо элемент вблизи поверхности (рис. 89, а). Так как по нижней его грани, совпадающей с по-верхностью балки, силы не приложены, то на ней нет и напря-жений. Поэтому и на верхней грани элемента нет напряжений, так как иначе элемент не находился бы и равновесии, Рассмат-ривая соседний с ним по высоте элемент (рис. 89,б), придем к
Такому же заключению и т. д. Отсюда следует, что по горизон-тальным граням любого элемента напряжения отсутствуют. Рас-сматривая элементы, входящие в состав горизонтального слоя, начиная с элемента у поверхности балки (рис. 90), придем к за-ключению, что и по боковым вертикальным граням любого эле-мента напряжения отсутствуют. Таким образом, напряженное состояние любого элемента (рис. 91,а), а в пределе и волокна, должно быть представлено так, как это показано на рис. 91,б, т. е. оно может быть либо осевым растяжением, либо осевым сжатием.
4. В силу симметрии приложения внешних сил сечение по середине длины балки после деформации должно остаться пло-ским и нормальным к оси балки (рис. 92, а). По этой же причине и сечения в четвертях длины балки тоже остаются плоскими и нормальными к оси балки (рис. 92,б), если только крайние се-чения балки при деформации остаются плоскими и нормальными к оси балки. Аналогичное заключение справедливо и для сечений в восьмых длины балки (рис. 92, в) и т. д. Следовательно, если при изгибе крайние сечения балки остаются плоскими, то и для любого сечения остается
справедли-вым утверждение, что оно после де-формации остается плоским и нор-мальным к оси изогнутой балки. Но в таком случае очевидно, что изменение удлинений волокон балки по ее высоте должно происходить не только непре-рывно, но и монотонно. Если назвать слоем совокупность волокон, имеющих одинаковые удлинения, то из сказан-ного следует, что растянутые и сжатые волокна балки должны располагаться по разные стороны от слоя, в котором удлинения волокон равны нулю. Бу-дем называть волокна, удлинения ко-торых равны нулю, нейтральными; слой, состоящий из нейтральных воло-кон, - нейтральным слоем; линию пе-ресечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки - нейтральной линией этого сечения. Тогда на основании предыдущих рассуждений можно утверждать, что при чистом изгибе балки в каждом ее сечении имеется нейтральная линия, которая делит это сечение на две части (зоны): зону растяну-тых волокон (растянутую зону) и зону сжатых волокон (сжа-тую зону). Соответственно с этим в точках растянутой зоны се-чения должны действовать нормальные растягивающие напря-жения, в точках сжатой зоны - сжимающие напряжения, а в точках нейтральной линии напряжения равны нулю.
Таким образом, при чистом изгибе балки постоянного се-чения:
1) в сечениях действуют только нормальные напряжения;
2) все сечение может быть разбито на две части (зоны) - растянутую и сжатую; границей зон является нейтральная линия сечения, в точках которой нормальные напряжения равны нулю;
3) любой продольный элемент балки (в пределе любое во-локно) подвергается осевому растяжению или сжатию, так что соседние волокна друг с другом не взаимодействуют;
4) если крайние сечения балки при деформации остаются плоскими и нормальными к оси, то и все ее поперечные сечения остаются плоскими и нормальными к оси изогнутой балки.
Напряженное состояние балки при чистом изгибе
Рас-смотрим элемент балки, подверженной чистому изгибу, заклю-
ченный между сечениями m- m и n - n, которые отстоят одно от дру-гого на бесконечно малом расстоя-нии dx (рис. 93). Вследствие по-ложения (4) предыдущего пункта, сечения m- m и n - n, бывшие до деформации параллельными, после изгиба, оставаясь плоскими, будут составлять угол dQ и пересекаться по прямой, проходящей через точ-ку С, которая является центром кривизны нейтрального волокна NN. Тогда заключенная между ними часть АВ волокна, находящегося на расстоянии z от нейтрального во-локна (положительное направление оси z принимаем в сторону выпук-лости балки при изгибе), превра-тится после деформации в дугу А"В".Отрезок нейтрального волокна О1О2, превратившись в дугу О1О2 не изменит своей длины, тогда как волокно АВ получит удлинение:
до деформации
после деформации
где р - радиус кривизны нейтрального волокна.
Поэтому абсолютное удлинение отрезка АВ равно
и относительное удлинение
Так как согласно положению (3) волокно АВ подвергается осевому растяжению, то при упругой деформации
Отсюда видно, что нормальные напряжения по высоте балки распределяются по линейному закону (рис. 94). Так как равно-действующая всех усилий по всем элементарным площадкам се-чения должна равняться нулю, то
откуда, подставляя значение из (5.8), найдем
Но последний интеграл есть статический момент относительно оси Оу, перпендикулярной к плоскости действия изгибающих уси-лий.
Вследствие равен-ства его нулю эта ось должна проходить через центр тяжести О сечения. Тамим образом,нейтраль-ная линия сечения балки есть прямая уу, перпен-дикулярная к плоскости действия изгибающих усилий. Ее называют ней-тральной осью сечения балки. Тогда из (5.8) следует, что напряжения в точках, лежа-щих на одинаковом расстоянии от нейтральной оси, одинаковы.
Случай чистого изгиба, при котором изгибающие усилия действуют только в одной плоскости, вызывая изгиб только в этой плоскости, является плоским чистым изгибом. Если названная плоскость проходит через ось Oz, то момент элементарных уси-лий относительно этой оси должен быть равен нулю, т. е.
Подставляя сюда значение σ из (5.8), находим
Стоящий в левой части этого равенства интеграл, как изве-стно, является центробежным моментом инерции сеченияотноси-тельно осей у и z, так что
Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, называют главными осями инерции этого сечения. Если они, кроме того, проходят через центр тяжести сечения, то их можно назвать главными центральными осями инерции сечения. Таким образом, при плоском чистом изгибе направление плоскости действия изгибающих усилий и нейтраль-ная ось сечения являются главными центральными осями инер-ции последнего. Иными словами, для получения плоского чи-стого изгиба балки нагрузка к ней не может прикладываться произвольно: она должна сводиться к силам, действующим в плоскости, которая проходит через одну из главных центральных осей инерции сечений балки; при этом другая главная централь-ная ось инерции будет являться нейтральной осью сечения.
Как известно, в случае сечения, симметричного относительно какой-либо оси, ось симметрии является одной из главных цент-ральных осей инерции его. Следовательно, в этом частном случае мы заведомо получим чистый изгиб, приложив соответствующие анагрузки в плоскости, проходящей через продольную ось балки я ось симметрии ее сечения. Прямая, перпендикулярная к оси симметрии и проходящая через центр тяжести сечения, является при этом нейтральной осью этого сечения.
Установив положение нейтральной оси, нетрудно найти и ве-личину напряжения в любой точке сечения. В самом деле, так как сумма моментов элементарных усилий относительно нейт-ральной оси уу должна равняться изгибающему моменту, то
откуда, подставляя значение σ из (5.8), найдем
Так как интеграл 
является. моментом инерции сечения относительно оси уу, то
и из выражения (5.8) получим
Произведение ЕI У называют жесткостью балки при изгибе.
Наибольшее растягивающее и наибольшее по абсолютной величине сжимающее напряжения действуют в точках сечения, для которых абсолютная величина z наибольшая, т. е. в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. При обозначениях, рис. 95 имеем
Величину Jy/h1 называют моментом сопротивления сечения рас-тяжению и обозначают Wyр; аналогично, Jy/h2называют моментом сопротивления сечения сжатию
и обозначают Wyc,так что
и поэтому
Если нейтральная ось является, осью симметрии сечения, то h1 = h2 = h/2 и, следовательно, Wyp = Wyc, так что их различать нет надобности, и пользуются одним обозначением:
называя W y просто моментом сопротивления сечения.Следова-тельно, в случае сечения, симметричного относительно нейтраль-ной оси,
Все приведенные выше выводы получены на основании допу-щения, что поперечные сечения балки, при изгибе остаются пло-скими и нормальными к ее оси (гипотеза плоских сечений). Как было показано, это допущение справедливо только в том случае, когда крайние (концевые) сечения балки при изгибе остаются плоскими. С другой стороны, из гипотезы плоских сечений сле-дует, что элементарные усилия в таких сечениях должны распре-деляться по линейному закону. Поэтому для справедливости по-лученной теории плоского чистого изгиба необходимо, чтобы из-гибающие моменты на концах балки были приложены в виде элементарных сил, распределенных по высоте сечения по линей-ному закону (рис. 96), совпадающему с законом распределения напряжений по высоте сечения балки. Однако на основании принципа Сен-Венана можно утверждать, что изменение способа приложения изгибающих моментов на концах балки вызовет лишь местные деформации, влияние которых скажется лишь на некотором расстоянии от этих концов (приблизительно равном высоте сечения). Сечения же, находящиеся во всей остальной части длины балки, останутся плоскими. Следовательно, изложенная теория плоского чистого изгиба при любом способе приложения изгибающих моментов справедлива только в пределах средней части длины балки, находящейся от ее концов на расстояниях, при-близительно равных высоте сечения. Отсюда ясно, что эта тео-рия заведомо неприменима, если высота сечения превосходит половину длины или пролета балки.
Изгибом называется вид деформации, при котором искривляется продольная ось бруса. Прямые брусья, работающие на изгиб, называются балками. Прямым изгибом называется изгиб, при котором внешние силы, действующие на балку, лежат в одной плоскости (силовой плоскости), проходящей через продольную ось балки и главную центральную ось инерции поперечного сечения.
Изгиб называется чистым , если в любом поперечном сечении балки возникает только один изгибающий момент.
Изгиб, при котором в поперечном сечении балки одновременно действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным . Линия пересечения силовой плоскости и плоскости поперечного сечения называется силовой линией .
Внутренние силовые факторы при изгибе балки.
При плоском поперечном изгибе в сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М. Для их определения используют метод сечений (см. лекцию 1). Поперечная сила Q в сечении балки равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Правило знаков для поперечных сил Q:
Изгибающий момент М в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести этого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Правило знаков для изгибающих моментов M:
Дифференциальные зависимости Журавского.
Между интенсивностью q распределенной нагрузки, выражениями для поперечной силы Q и изгибающего момента М установлены дифференциальные зависимости:
На основе этих зависимостей можно выделить следующие общие закономерности эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М:
Особенности эпюр внутренних силовых факторов при изгибе.
1. На участке балки, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q представлена прямой линией , параллельной базе эпюре, а эпюра М - наклонной прямой (рис. а).
2. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q должен быть скачок , равный значению этой силы, а на эпюре М -точка перелома (рис. а).
3. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, значение Q не изменяется, а эпюра М имеет скачок , равный значению этого момента, (рис. 26, б).
4. На участке балки с распределенной нагрузкой интенсивности q эпюра Q изменяется по линейному закону, а эпюра М - по параболическому, причем выпуклость параболы направлена навстречу направлению распределенной нагрузки (рис. в, г).
5. Если в пределах характерного участка эпюра Q пересекает базу эпюры, то в сечении, где Q = 0, изгибающий момент имеет экстремальное значение M max или M min (рис. г).
Нормальные напряжения при изгибе.
Определяются по формуле:
Моментом сопротивления сечения изгибу называется величина:
Опасным сечением при изгибе называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение.
Касательные напряжения при прямом изгибе.
Определяются по формуле Журавского для касательных напряжений при прямом изгибе балки:
где S отс - статический момент поперечной площади отсеченного слоя продольных волокон относительно нейтральной линии.
Расчеты на прочность при изгибе.
1. При проверочном расчете определяется максимальное расчетное напряжение, которое сравнивается с допускаемым напряжением:
2. При проектном расчете подбор сечения бруса производится из условия:
3. При определении допускаемой нагрузки допускаемый изгибающий момент определяется из условия:
Перемещения при изгибе.
Под действием нагрузки при изгибе ось балки искривляется. При этом наблюдается растяжение волокон на выпуклой и сжатие - на вогнутой частях балки. Кроме того, происходит вертикальное перемещение центров тяжести поперечных сечений и их поворот относительно нейтральной оси. Для характеристики деформации при изгибе используют следующие понятия:
Прогиб балки Y - перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в направлении, перпендикулярном к ее оси.
Прогиб считают положительным, если перемещение центра тяжести происходит вверх. Величина прогиба меняется по длине балки, т.е. y = y (z)
Угол поворота сечения - угол θ, на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению. Угол поворота считают положительным при повороте сечения против хода часовой стрелки. Величина угла поворота меняется по длине балки, являясь функцией θ = θ (z).
Самыми распространёнными способами определения перемещений является метод Мора и правило Верещагина .
Метод Мора.
Порядок определения перемещений по методу Мора:
1. Строится «вспомогательная система» и нагружается единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Если определяется линейное перемещение, то в его направлении прикладывается единичная сила, при определении угловых перемещений – единичный момент.
2. Для каждого участка системы записываются выражения изгибающих моментов М f от приложенной нагрузки и М 1 - от единичной нагрузки.
3. По всем участкам системы вычисляют и суммируют интегралы Мора, получая в результате искомое перемещение:
4. Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это значит, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное перемещение противоположно направлению единичной силы.
Правило Верещагина.
Для случая, когда эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки имеет произвольное, а от единичной нагрузки – прямолинейное очертание, удобно использовать графоаналитический способ, или правило Верещагина.
где A f – площадь эпюры изгибающего момента М f от заданной нагрузки; y c – ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры М f ; EI x – жесткость сечения участка балки. Вычисления по этой формуле производятся по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Величина (A f *y c) считается положительной, если обе эпюры располагаются по одну сторону от балки, отрицательной, если они располагаются по разные стороны. Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента). Сложная эпюра М f должна быть разбита на простые фигуры(применяется так называемое "расслоение эпюры"), для каждой из которых легко определить ординату центра тяжести. При этом площадь каждой фигуры умножается на ординату под ее центром тяжести.
Расчет балки на изгиб «вручную», по-дедовски, позволяет познать один из важнейших, красивейших, четко математически выверенных алгоритмов науки сопротивление материалов. Использование многочисленных программ типа «ввел исходные данные...
...– получи ответ» позволяет современному инженеру сегодня работать гораздо быстрее, чем его предшественникам сто, пятьдесят и даже двадцать лет назад. Однако при таком современном подходе инженер вынужден полностью доверять авторам программы и со временем перестает «ощущать физический смысл» расчетов. Но авторы программы – это люди, а людям свойственно ошибаться. Если бы это было не так, то не было бы многочисленных патчей, релизов, «заплаток» практически к любому программному обеспечению. Поэтому, мне кажется, любой инженер должен уметь иногда «вручную» проверить результаты расчетов.
Справка (шпаргалка, памятка) для расчётов балок на изгиб представлена ниже на рисунке.
Давайте на простом житейском примере попробуем ей воспользоваться. Допустим, я решил сделать в квартире турник. Определено место – коридор шириной один метр двадцать сантиметров. На противоположных стенах на необходимой высоте напротив друг друга надежно закрепляю кронштейны, к которым будет крепиться балка-перекладина – пруток из стали Ст3 с наружным диаметром тридцать два миллиметра. Выдержит ли эта балка мой вес плюс дополнительные динамические нагрузки, которые возникнут при выполнении упражнений?
Чертим схему для расчета балки на изгиб. Очевидно, что наиболее опасной будет схема приложения внешней нагрузки, когда я начну подтягиваться, зацепившись одной рукой за середину перекладины.
Исходные данные:
F1 = 900 н – сила, действующая на балку (мой вес) без учета динамики
d = 32 мм – наружный диаметр прутка, из которого сделана балка
E = 206000 н/мм^2 — модуль упругости материала балки стали Ст3
[σи] = 250 н/мм^2 — допустимые напряжения изгиба (предел текучести) для материала балки стали Ст3
Граничные условия:
Мx (0) = 0 н*м – момент в точке z = 0 м (первая опора)
Мx (1,2) = 0 н*м– момент в точке z = 1,2 м (вторая опора)
V (0) = 0 мм – прогиб в точке z = 0 м (первая опора)
V (1,2) = 0 мм – прогиб в точке z = 1,2 м (вторая опора)
Расчет:
1. Для начала вычислим момент инерции Ix и момент сопротивления Wx сечения балки. Они нам пригодятся в дальнейших расчетах. Для кругового сечения (каковым является сечение прутка):
Ix = (π*d^4)/64 = (3.14*(32/10)^4)/64 = 5,147 см^4
Wx = (π*d^3)/32 = ((3.14*(32/10)^3)/32) = 3,217 см^3
2. Составляем уравнения равновесия для вычисления реакций опор R1 и R2:
Qy = -R1+F1-R2 = 0
Мx (0) = F1*(0-b2) -R2*(0-b3) = 0
Из второго уравнения: R2 = F1*b2/b3 = 900*0.6/1.2 = 450 н
Из первого уравнения: R1 = F1-R2 = 900-450 = 450 н
3. Найдем угол поворота балки в первой опоре при z = 0 из уравнения прогиба для второго участка:
V (1.2) = V (0)+U (0)*1.2+(-R1*((1.2-b1)^3)/6+F1*((1.2-b2)^3)/6)/
U (0) = (R1*((1.2-b1)^3)/6 -F1*((1.2-b2)^3)/6)/(E*Ix)/1,2 =
= (450*((1.2-0)^3)/6 -900*((1.2-0.6)^3)/6)/
/(206000*5,147/100)/1,2 = 0,00764 рад = 0,44˚
4.
Составляем уравнения для построения эпюр для первого участка (0 Поперечная сила: Qy (z) = -R1 Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1) Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2)/(E*Ix) Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6)/(E*Ix) z = 0 м:
Qy (0) = -R1 = -450 н Ux (0) = U (0) = 0,00764 рад Vy (0) = V (0) = 0 мм z = 0,6 м:
Qy (0,6) = -R1 = -450 н Мx (0,6) = -R1*(0,6-b1) = -450*(0,6-0) = -270 н*м Ux (0,6) = U (0)+(-R1*((0,6-b1)^2)/2)/(E*Ix) = 0,00764+(-450*((0,6-0)^2)/2)/(206000*5,147/100) = 0 рад Vy (0,6) = V (0)+U (0)*0,6+(-R1*((0,6-b1)^3)/6)/(E*Ix) = 0+0,00764*0,6+(-450*((0,6-0)^3)/6)/ (206000*5,147/100) = 0,003 м Балка прогнется по центру на 3 мм под тяжестью моего тела. Думаю, это приемлемый прогиб. 5.
Пишем уравнения эпюр для второго участка (b2 Поперечная сила: Qy (z) = -R1+F1 Изгибающий момент: Мx (z) = -R1*(z-b1)+F1*(z-b2) Угол поворота: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2+F1*((z-b2)^2)/2)/(E*Ix) Прогиб: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6+F1*((z-b2)^3)/6)/(E*Ix) z = 1,2 м:
Qy (1,2) = -R1+F1 = -450+900 = 450 н Мx (1,2) = 0 н*м Ux (1,2) = U (0)+(-R1*((1,2-b1)^2)/2+F1*((1,2-b2)^2)/2)/(E*Ix) = 0,00764+(-450*((1,2-0)^2)/2+900*((1,2-0,6)^2)/2)/ /(206000*5,147/100) = -0.00764 рад Vy (1,2) = V (1,2) = 0 м 6.
Строим эпюры, используя данные полученные выше. 7.
Рассчитываем напряжения изгиба в наиболее нагруженном сечении – посередине балки и сравниваем с допустимыми напряжениями: σи = Mx max/Wx = (270*1000)/(3,217*1000) = 84 н/мм^2 σи = 84 н/мм^2 < [σи] = 250 н/мм^2 По прочности на изгиб расчет показал трехкратный запас прочности – турник можно смело делать из имеющегося прутка диаметром тридцать два миллиметра и длиной тысяча двести миллиметров. Таким образом, вы теперь легко можете произвести расчет балки на изгиб «вручную» и сравнить с результатами, полученными при расчете по любой из многочисленных программ, представленных в Сети. Прошу УВАЖАЮЩИХ
труд автора ПОДПИСАТЬСЯ
на анонсы статей.
86 комментариев на «Расчет балки на изгиб — «вручную»!»
При прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор изгибающий момент М х
(рис. 1). Так как Q y =dM x /dz=0,
то M x
=const и чистый прямой изгиб может быть реализован при загружении стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях стержня. Поскольку изгибающий момент M х
по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох
с нормальными напряжениями его связывает выкающее из этого определения уравнение статики Сформулируем предпосылки теории чистого прямого изгиба призматического стержня. Для этого проанализируем деформации модели стержня из низкомодульного материала, на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных и поперечных рисок (рис. 2). Поскольку поперечные риски при изгибе стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными к искривленным продольным рискам, это позволяет сделать вывод о выполнении гипотезы плоских сечений,
которая, как показывает решение этой задачи методами теории упругости, перестает быть гипотезой, становясь точным фактом законом плоских сечений.
Замеряя изменение расстояний между продольными рисками, приходим к выводу о справедливости гипотезы о ненадавливании продольных волокон . Ортогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (как отражение действия закона плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов, касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня. Рис.1.
Связь внутреннего усилия и напряжения
Рис.2.
Модель чистого изгиба
Таким образом, чистый прямой изгиб призматического стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями (индекс г
в дальнейшем опускаем). При этом часть волокон находится в зоне растяжения (на рис. 2 этонижние волокна), а другая частьв зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоны разделены нейтральным слоем (пп),
не меняющим своей длины, напряжения в котором равны нулю. Учитывая сформулированные выше предпосылки и полагая, что материал стержня линейно-упругий, т. е. закон Гука в этом случае имеет вид: ,
выведем формулы для кривизны нейтрального слоя (радиус кривизны) и нормальных напряжений . Предварительно отметим, что постоянство поперечного сечения призматического стержня и изгибающего момента (M х =сonst),
обеспечивает постоянство радиуса кривизны нейтрального слоя по длине стержня (рис. 3, а
), нейтральный слой (пп)
описывается дугой окружности. Рассмотрим призматический стержень в условиях прямого чистого изгиба (рис. 3, а) с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси Оу.
Это условие не отразится на конечном результате (чтобы прямой изгиб был возможен, необходимо совпадение оси Оу с
главной осью инерции поперечного сечения, которая и является осью симметрии). Ось Ox
поместим на нейтральном слое, положение которого
заранее неизвестно. а
) расчетная схема, б
) деформации и напряжения Рассмотрим вырезанный из стержня элемент длиной dz
, который в масштабе с искаженными в интересах наглядности пропорциями изображен на рис. 3, б
. Поскольку интерес представляют деформации элемента, определяемые относительным смещением его точек, одно из торцевых сечений элемента можно считать неподвижным. Ввиду малости считаем, что точки поперечного сечения при повороте на этот угол перемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным. Вычислим относительную деформацию продольного волокна АВ,
отстоящего от нейтрального слоя на у:
Из подобия треугольников С00 1
и 0 1 ВВ 1
следует, что Продольная деформация оказалась линейной функцией расстояния от нейтрального слоя, что является прямым следствием закона плоских сечений Эта формула не пригодна для практического использования, так как содержит две неизвестные: кривизну нейтрального слоя и положение нейтральной оси Ох
, от которой отсчитывается координата у.
Для определения этих неизвестных воспользуемся уравнениями равновесия статики. Первое выражает требование равенства нулю продольной силы Подставляя в это уравнение выражение (2) и учитывая, что , получаем, что Интеграл в левой части этого уравнения представляет собой статический момент поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси Ох,
который может быть равным нулю только относительно центральной оси. Поэтому нейтральная ось Ох
проходит через центр тяжести поперечного сечения. Вторым уравнением равновесия статики является, связывающее нормальные напряжения с изгибающим моментом (который легко может быть выражен через внешние силы и поэтому считается заданной величиной). Подставляя в уравнение связки выражение для. напряжений, получим: и учитывая, что Рис.4.
Распределение нормальных напряжений
которая была впервые получена Ш. Кулоном в 1773 году. Для согласования знаков изгибающего момента М х
и нормальных напряжений в правой части формулы (5) ставится знак минус, так как при M х >0
нормальные напряжения при y
>0 оказываются сжимающими. Однако в практических расчетах удобнее, не придерживаясь формального правила знаков, определять напряжения по модулю, а знак ставить по смыслу. Нормальные напряжения при чистом изгибе призматического стержня являются линейной функцией координаты у
и достигают наибольших значений в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 4), т. е. Здесь введена геометрическая характеристика Деформация изгиба
заключается в искривлении оси прямого стержня или в изменении начальной кривизны прямого стержня
(рис. 6.1)
. Ознакомимся с основными понятиями, которые используются при рассмотрении деформации изгиба.
Стержни, работающие на изгиб, называют
балками
.
Чистым
называется изгиб, при котором изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, возникающем в поперечном сечении балки.
Чаще, в поперечном сечении стержня наряду с изгибающим моментом возникает также и поперечная сила. Такой изгиб называют поперечным.
Плоским (прямым)
называют изгиб, когда плоскость действия изгибающего момента в поперечном сечении проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения.
При
косом изгибе
плоскость действия изгибающего момента пересекает поперечное сечение балки по линии, не совпадающей ни с одной из главных центральных осей поперечного сечения.
Изучение деформации изгиба начнем со случая чистого плоского изгиба.
Как уже было сказано, при чистом плоском изгибе в поперечном сечении из шести внутренних силовых факторов не равен нулю только изгибающий момент (рис. 6.1, в):
; (6.1)
Опыты, поставленные на эластичных моделях, показывают, что если на поверхность модели нанести сетку линий
(рис. 6.1, а)
, то при чистом изгибе она деформируется следующим образом
(рис. 6.1, б)
:
а) продольные линии искривляются по длине окружности;
б) контуры поперечных сечений остаются плоскими;
в) линии контуров сечений всюду пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.
На основании этого можно предположить, что при чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси балки (гипотеза плоских сечений при изгибе).
Рис. .
Замеряя длину продольных линий (рис. 6.1, б), можно обнаружить, что верхние волокна при деформации изгиба балки удлиняются, а нижние укорачиваются. Очевидно, что можно найти такие волокна, длина которых остается неизменной. Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется
нейтральным слоем (н. с.)
. Нейтральный слой пересекает поперечное сечение балки по прямой, которая называется
нейтральной линией (н. л.) сечения
.
Для вывода формулы, определяющей величину нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении, рассмотрим участок балки в деформированном и не деформированном состоянии (рис. 6.2).
Рис. .
Двумя бесконечно малыми поперечными сечениями выделим элемент длиной. До деформации сечения, ограничивающие элемент, были параллельны между собой (рис. 6.2, а), а после деформации они несколько наклонились, образуя угол. Длина волокон, лежащих в нейтральном слое, при изгибе не меняется. Обозначим радиус кривизны следа нейтрального слоя на плоскости чертежа буквой. Определим линейную деформацию произвольного волокна, отстоящего на расстоянии от нейтрального слоя.
Длина этого волокна после деформации (длина дуги) равна. Учитывая, что до деформации все волокна имели одинаковую длину, получим, что абсолютное удлинение рассматриваемого волокна
Его относительная деформация
Очевидно, что, так как длина волокна, лежащего в нейтральном слое не изменилась. Тогда после подстановки получим
(6.2)
Следовательно, относительная продольная деформация пропорциональна расстоянию волокна от нейтральной оси.
Введем предположение, что при изгибе продольные волокна не надавливают друг на друга. При таком предположении каждое волокно деформируется изолировано, испытывая простое растяжение или сжатие, при котором. С учетом (6.2)
, (6.3)
т. е. нормальные напряжения прямо пропорциональны расстояниям рассматриваемых точек сечения от нейтральной оси.
Подставим зависимость (6.3) в выражение изгибающего момента в поперечном сечении (6.1)
Вспомним, что интеграл представляет собой момент инерции сечения относительно оси
Или
(6.4)
Зависимость (6.4) представляет собой закон Гука при изгибе, поскольку она связывает деформацию (кривизну нейтрального слоя) с действующим в сечении моментом. Произведение носит название жесткости сечения при изгибе, Н·
м
2
.
Подставим (6.4) в (6.3)
(6.5)
Это и есть искомая формула для определения нормальных напряжений при чистом изгибе балки в любой точке ее сечения.
Для
того, чтобы установить, где в поперечном сечении находится нейтральная линия подставим значение нормальных напряжений в выражение продольной силы и изгибающего момента
Поскольку,
то
(6.6)
(6.7)
Равенство (6.6) указывает, что ось нейтральная ось сечения проходит через центр тяжести поперечного сечения.
Равенство (6.7) показывает что и - главные центральные оси сечения.
Согласно (6.5) наибольшей величины напряжения достигают в волокнах наиболее удаленных от нейтральной линии
Отношение представляет собой осевой момент сопротивления сечения относительно его центральной оси, значит
Значение для простейших поперечных сечений следующее:
Для прямоугольного поперечного сечения
, (6.8)
где - сторона сечения перпендикулярная оси;
Сторона сечения параллельная оси;
Для круглого поперечного сечения
, (6.9)
где - диаметр круглого поперечного сечения.
Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе можно записать в виде
(6.10)
Все полученные формулы получены для случая чистого изгиба прямого стержня. Действие же поперечной силы приводит к тому, что гипотезы, положенные в основу выводов, теряют свою силу. Однако практика расчетов показывает, что и при поперечном изгибе балок и рам, когда в сечении кроме изгибающего момента действует еще продольная сила и поперечная сила, можно пользоваться формулами, приведенными для чистого изгиба. Погрешность при этом получается незначительной.
Как уже было сказано, при плоском поперечном изгибе в поперечном сечении балки возникают два внутренних силовых фактора и.
Перед определением и определяют реакции опор балки (рис. 6.3, а), составляя уравнения равновесия статики.
Для определения и применим метод сечений. В интересующем нас месте сделаем мысленный разрез балки, например, на расстоянии от левой опоры. Отбросим одну из частей балки, например правую, и рассмотрим равновесие левой части (рис. 6.3, б). Взаимодействие частей балки заменим внутренними усилиями и.
Установим следующие правила знаков для и:
Рис. .
Для определения данных усилий используем два уравнения равновесия:
1. ; ; .
2. ;
Таким образом,
а) поперечная сила в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на поперечную ось сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения;
б) изгибающий момент в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов (вычисленных относительно центра тяжести сечения) внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.
При практическом вычислении руководствуются обычно следующим:
Рис. .
Рассмотрим двухопорную балку
(рис. 6.5, а)
. На балку действует в точке сосредоточенный момент, в точке - сосредоточенная сила и на участке - равномерно распределенная нагрузка интенсивностью.
Определим опорные реакции и
(рис. 6.5, б)
. Равнодействующая распределенной нагрузки равна, а линия действия ее проходит через центр участка. Составим уравнения моментов относительно точек и.
Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечений, расположенном на участке на расстоянии от точки А
(рис. 6.5, в)
. (рис. 6.5, г).
Расстояние может изменяться в пределах ().
Значение поперечной силы не зависит от координаты сечения, следовательно, во всех сечениях участка поперечные силы одинаковы и эпюра имеет вид прямоугольника. Изгибающий момент
Изгибающий момент изменяется по линейному закону. Определим ординаты эпюры для границ участка.
Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечений, расположенном на участке на расстоянии от точки
(рис. 6.5, д).
Расстояние может изменяться в пределах ().
Поперечная сила изменяется по линейному закону. Определим для границ участка.
Изгибающий момент
Эпюра изгибающих моментов на этом участке будет параболической.
Чтобы определить экстремальное значение изгибающего момента, приравниваем к нулю производную от изгибающего момента по абсциссе сечения:
Отсюда
Для сечения с координатой значение изгибающего момента будет составлять
В результате получаем эпюры поперечных сил
(рис. 6.5, е) и
изгибающих
моментов
(рис. 6.5,
ж).
(6.11)
(6.12)
(6.13)
Эти зависимости позволяют установить некоторые особенности эпюр изгибающих моментов и поперечных сил:
Н
а участках, где нет распределенной нагрузки, эпюры ограничены прямыми, параллельными нулевой линии эпюры, а эпюры в общем случае наклонными прямыми
.
Н
а участках, где к балке приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра ограничена наклонными прямыми, а эпюра - квадратичными параболами с выпуклостью, обращенной в сторону, противоположную направлению действия нагрузки
.
В
сечениях, где, касательная к эпюре параллельна нулевой линии эпюры
.
Н
а участках, где, момент возрастает; на участках, где, момент убывает
.
В
сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы, на эпюре будут скачки на величину приложенных сил, а на эпюре будут переломы
.
В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре будут скачки на величину этих моментов.
Ординаты эпюры пропорциональны тангенсу угла наклона касательной к эпюре.
Статьи с близкой тематикой
Отзывы
где J x
главный центральный момент инерции относительно оси Ох,
для кривизны нейтрального слоя получаем формулу
, имеющая размерность м 3 и получившая название момента сопротивления при изгибе.
Поскольку при заданном M х
напряжения max ?
тем меньше, чем больше W x ,
момент сопротивления является геометрической характеристикой прочности поперечного сечения изгибе.
Приведем примеры вычисления моментов сопротивления для простейших форм поперечных сечений. Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 5, а
) имеем J х =bh 3 /12,y max
= h/2
и W x = J x /y max
= bh 2 /6.
Аналогично для круга (рис. 5,a J x
=d 4
/64, y max =d/2
) получаем W x
=d 3
/32, для кругового кольцевого сечения (рис. 5, в),
у которого
Общие
понятия.
Нормальные напряжения и деформации при чистом изгибе.
Определение поперечных сил и изгибающих моментов.
Построение эпюр и в балках.
Дифференциальные зависимости при изгибе.
