Складывание и вычитание корней. Что такое квадратные корни и как они складываются

Квадратным корнем из числа X называется число A , которое в процессе умножения самого на себя (A * A ) может дать число X .
Т.е. A * A = A 2 = X , и √X = A .

Над квадратными корнями (√x ), как и над другими числами, можно выполнять такие арифметические операции, как вычитание и сложение. Для вычитания и сложения корней их нужно соединить посредством знаков, соответствующих этим действиям (например √x — √y ).
А потом привести корни к их простейшей форме — если между ними окажутся подобные, необходимо сделать приведение. Оно заключается в том, что берутся коэффициенты подобных членов со знаками соответствующих членов, далее заключаются в скобки и выводится общий корень за скобками множителя. Коэффициент, который мы получили, упрощается по обычным правилам.

Шаг 1. Извлечение квадратных корней

Во-первых, для сложения квадратных корней сначала нужно эти корни извлечь. Это можно будет сделать в том случае, если числа под знаком корня будут полными квадратами. Для примера возьмем заданное выражение √4 + √9 . Первое число 4 является квадратом числа 2 . Второе число 9 является квадратом числа 3 . Таким образом, можно получить следующее равенство: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Все, пример решен. Но так просто бывает далеко не всегда.

Шаг 2. Вынесение множителя числа из-под корня

Если полных квадратов нет под знаком корня, можно попробовать вынести множитель числа из-под знака корня. Для примера возьмём выражение √24 + √54 .

Раскладываем числа на множители:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

В числе 24 мы имеем множитель 4 , его можно вынести из-под знака квадратного корня. В числе 54 мы имеем множитель 9 .

Получаем равенство:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Рассматривая данный пример, мы получаем вынос множителя из-под знака корня, тем самым упрощая заданное выражение.

Шаг 3. Сокращение знаменателя

Рассмотрим следующую ситуацию: сумма двух квадратных корней – это знаменатель дроби, например, A / (√a + √b) .
Теперь перед нами стоит задача «избавиться от иррациональности в знаменателе».
Воспользуемся следующим способом: умножаем числитель и знаменатель дроби на выражение √a — √b .

Формулу сокращённого умножения мы теперь получаем в знаменателе:
(√a + √b) * (√a — √b) = a – b .

Аналогично, если в знаменателе имеется разность корней: √a — √b , числитель и знаменатель дроби умножаем на выражение √a + √b .

Возьмём для примера дробь:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Пример сложного сокращения знаменателя

Теперь будем рассматривать достаточно сложный пример избавления от иррациональности в знаменателе.

Для примера берём дробь: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Нужно взять её числитель и знаменатель и перемножить на выражение √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Шаг 4. Вычисление приблизительного значения на калькуляторе

Если вам требуется только приблизительное значение, это можно сделать на калькуляторе путём подсчёта значения квадратных корней. Отдельно для каждого числа вычисляется значение и записывается с необходимой точностью, которая определяется количеством знаков после запятой. Далее совершаются все требуемые операции, как с обычными числами.

Пример вычисления приблизительного значения

Необходимо вычислить приблизительное значение данного выражения √7 + √5 .

В итоге получаем:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Обратите внимание: ни при каких условиях не следует производить сложение квадратных корней, как простых чисел, это совершенно недопустимо. То есть, если сложить квадратный корень из пяти и из трёх, у нас не может получиться квадратный корень из восьми.

Полезный совет: если вы решили разложить число на множители, для того, чтобы вывести квадрат из-под знака корня, вам необходимо сделать обратную проверку, то есть перемножить все множители, которые получились в результате вычислений, и в конечном результате этого математического расчёта должно получиться число, которое нам было задано первоначально.

Правила вычитания корней

1. Корень степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: где (правило извлечения корня из произведения).

2. Если , то у (правило извлечения корня из дроби).

3. Если то (правило извлечения корня из корня).

4. Если то правило возведения корня в степень).

5. Если то где т. е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.

6. Если то 0, т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.

7. Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево). Например,

(правило умножения корней);

(правило деления корней);

8. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При

9. Обратная задача - внесение множителя под знак корня. Например,

10. Уничтожение иррациональности в знаменателе дроби.

Рассмотрим некоторые типичные случаи.

• Значение слова Объясните значение слов: закон, ростовщик, раб-должник. объясните значение слов: закон, ростовщик, раб-должник. ВкУсНаЯ КлУбНиКа (Гость) Школы Вопросы по теме 1.На какие 3 типа можно разделить […]
• на рацию в машине разрешение нужно? где бы прочитать? Вам необходимо зарегистрировать вашу радиостанцию в любом случае. Рации, которые работают на частоте 462MHz, если Вы не являетесь представителем МВД, на Вас не […]
• Ставка единого налога - 2018 Ставка единого налога - 2018 для предпринимателей-физлиц первой и второй гpупп расcчитывается в процентах oт размера прожиточного минимума и минимальной зарплаты, установлeнных нa 01 января […]
• Страховка на авито ГАРАHTИЯ ЛЕГАЛЬНОСТИ. Вы pешили cамoстoятельнo офopмить элeктpoнный aдpес ОCAГO нo у вac ничегo нe получaeтcя?Без пaники! !!Bнeсу зa вaс вce нeобхoдимые данные в элeктрoнную зaявку cтpaxовой […]
• Порядок исчисления и уплаты акцизного налога Акцизный налог – это один из косвенных налогов на товары и услуги, который включается в их стоимость. Акцизный налог отличается при этом от НДС тем, что накладывается на […]
• Приложение. Правила землепользования и застройки города Ростова-на-Дону Приложениек решению городской Думыот 17 июня 2008 г. N 405 Правила землепользования и застройки города Ростова-на-Дону С изменениями и […]

Например,

11. Применение тождеств сокращенного умножения к действиям с арифметическими корнями:

12. Множитель, стоящий перед корнем, называется его коэффициентом. Например, Здесь 3 является коэффициентом.

13. Корни (радикалы) называются подобными, если они имеют одинаковые показатели корней и одинаковые подкоренные выражения, а отличаются только коэффициентом. Чтобы судить о том, подобны данные корни (радикалы) или нет, нужно привести их к простейшей форме.

Например, и подобны, так как

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

1. Упростить выражения:

Решение. 1) Перемножать подкоренное выражение нет смысла, так как каждый из сомножителей представляет квадрат целого числа. Воспользуемся правилом извлечения корня из произведения:

В дальнейшем такие действия будем выполнять устно.

2) Попытаемся, если это возможно, представить подкоренное выражение в виде произведения множителей, каждый из которых является кубом целого числа, и применим правило о корне из произведения:

2. Найти значение выражения:

Решение. 1) По правилу извлечения корня из дроби имеем:

3) Преобразуем подкоренные выражения и извлечем корень:

3. Упростить при

Решение. При извлечении корня из корня показатели корней перемножаются, а подкоренное выражение остается без изменения

Если перед корнем, находящимся под корнем, имеется коэффициент, то прежде чем выполнить операцию извлечения корня, вводят этот коэффициент под знак радикала, перед которым он стоит.

Извлечем на основании изложенных правил два последних корня:

4. Возвести в степень:

Решение. При возведении корня в степень показатель корня остается без изменения, а показатели подкоренного выражения умножаются на показатель степени.

(так как определен, то );

Если данный корень имеет коэффициент, то этот коэффициент возводится в степень отдельно и результат записывается коэффициентом при корне.

Здесь мы использовали правило, что показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножать на одно и то же число (мы умножили на т. е. разделили на 2).

Например, или

4) Выражение в скобках, представляющее сумму двух различных радикалов, возведем в куб и упростим:

Поскольку имеем:

5. Исключить иррациональность в знаменателе:

Решение. Для исключения (уничтожения) иррациональности в знаменателе дроби нужно подыскать простейшее из выражений, которое в произведении со знаменателем дает рациональное выражение, и умножить на подысканный множитель числитель и знаменатель данной дроби.

Например, если в знаменателе дроби двучлен то надо числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопряженное знаменателю, т. е. сумму надо умножить на соответствующую разность и наоборот.

В более сложных случаях уничтожают иррациональность не сразу, а в несколько приемов.

1) В выражении должно быть

Умножая числитель и знаменатель дроби на получим:

2) Умножая числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат суммы, получим:

3) Приведем дроби к общему знаменателю:

Решая данный пример, мы должны иметь в виду, что каждая дробь имеет смысл, т. е. знаменатель каждой дроби отличен от нуля. Кроме того,

При преобразовании выражений, содержащих радикалы, часто допускают ошибки. Они вызваны неумением правильно применять понятие (определение) арифметического корня и абсолютной величины.

Правила вычитания корней

Вычислите значение выражения

Решение .

Пояснение .
Для сворачивания подкоренного выражения, представим во втором множителе в его подкоренном выражении число 31 как сумму 15+16. (строка 2)

После преобразования, видно, что сумма во втором подкоренном выражении может быть представлена как квадрат суммы по формулам сокращенного умножения. (строка 3)

Теперь представим каждый корень из данного произведения как степень. (строка 4)

Упростим выражение (строка 5)

Поскольку степень произведения равна произведению степеней каждого из множителей, представим это соответствующим образом (строка 6)

Как видно, по формулам сокращенного умножения имеем разность квадратов двух чисел. Откуда и вычислим значение выражения (строка 7)

Вычислите значение выражения.

Решение .

Пояснение .

Используем свойства корня, что корень произвольной степени частного чисел равен частному корней этих чисел (строка 2)

Корень произвольной степени числа этой же степени равен этому числу (строка 3)

Вынесем из скобки первого множителя минус. При этом все знаки внутри скобки поменяются на противоположные (строка 4)

Выполним сокращение дроби (строка 5)

Представим число 729 как квадрат числа 27, а число 27 как куб числа 3. Откуда и получим значение подкоренного выражения.

Квадратный корень. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

1. Введение понятия арифметического квадратного корня

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен.
.

Число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным

2. Таблица квадратов

3. Свойства арифметического квадратного корня

Введение понятия арифметического квадратного корня

Давай попробуем разобраться, что это за понятие такое «корень» и «с чем его едят». Для этого рассмотрим примеры, с которыми ты уже сталкивался на уроках (ну, или тебе с этим только предстоит столкнуться).

К примеру, перед нами уравнение. Какое решение у данного уравнения? Какие числа можно возвести в квадрат и получить при этом? Вспомнив таблицу умножения, ты легко дашь ответ: и (ведь при перемножении двух отрицательных чисел получается число положительное)! Для упрощения, математики ввели специальное понятие квадратного корня и присвоили ему специальный символ.

Дадим определение арифметическому квадратному корню.

А почему же число должно быть обязательно неотрицательным? Например, чему равен? Так-так, попробуем подобрать. Может, три? Проверим: , а не. Может, ? Опять же, проверяем: . Ну что же, не подбирается? Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число!

Однако ты наверняка уже заметил, что в определении сказано, что решение квадратного корня из «числа называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен ». А в самом начале мы разбирали пример, подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом, ответом были и, а тут говорится про какое-то «неотрицательное число»! Такое замечание вполне уместно. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратных уравнений и арифметического квадратного корня из числа. К примеру, не равносильно выражению.

А из следует, что.

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки являются результатом решения уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше квадратное уравнение подходит как, так и.

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат .

А теперь попробуй решить такое уравнение. Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: – не подходит, двигаемся дальше; – меньше трех, тоже отметаем, а что если? Проверим: – тоже не подходит, т.к. это больше трех. С отрицательными числами получится такая же история. И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал? Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между и, а также между и. Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными. И что дальше? Давай построим график функции и отметим на нем решения.

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора! Извлечем корень из, делов-то! Ой-ой-ой, выходит, что Такое число никогда не кончается. Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!? Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. и уже сами по себе ответы. Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.
Рассмотрим еще один пример для закрепления. Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной км, сколько км тебе предстоит пройти?

Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: . Таким образом, . Так чему же здесь равно искомое расстояние? Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что. Корень из двух приблизительно равен, но, как мы заметили раньше, -уже является полноценным ответом.

Извлечение корней

Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать. Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от до, а также уметь их распознавать.

То есть, тебе необходимо знать, что в квадрате равно, а также, наоборот, что – это в квадрате. Первое время в извлечении корня тебе поможет эта таблица.

Как только ты прорешаешь достаточное количество примеров, то надобность в ней автоматически отпадет.
Попробуй самостоятельно извлечь квадратный корень в следующих выражениях:

Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:

Свойства арифметического квадратного корня

Теперь ты знаешь, как извлекать корни и пришло время узнать о свойствах арифметического квадратного корня. Их всего 3:

• умножение;
• деление;
• возведение в степень.

Их ну просто очень легко запомнить с помощью этой таблицы и, конечно же, тренировки:

Как решать
квадратные уравнения

В предыдущих уроках мы разбирали «Как решать линейные уравнения», то есть уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным уравнением и как его решать.

Что называют квадратным уравнением

Степень уравнения определяют по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное.

Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное - « 2 », значит, перед вами квадратное уравнение.

Примеры квадратных уравнений

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

Чтобы найти « a », « b » и « c » нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения « ax 2 + bx + c = 0 ».

Давайте потренируемся определять коэффициенты « a », « b » и « c » в квадратных уравнениях.

• a = 5
• b = −14
• с = 17

• a = −7
• b = −13
• с = 8

• a = −1
• b = 1

• a = 1
• b = 0,25
• с = 0

• a = 1
• b = 0
• с = −8

Как решать квадратные уравнения

В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней .

Чтобы решить квадратное уравнение нужно:

• привести квадратное уравнение к общему виду « ax 2 + bx + c = 0 ». То есть в правой части должен остаться только « 0 »;
• использовать формулу для корней:

Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

Уравнение « x 2 − 3x − 4 = 0 » уже приведено к общему виду « ax 2 + bx + c = 0 » и не требует дополнительных упрощений. Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения .

Определим коэффициенты « a », « b » и « c » для этого уравнения.

• a = 1
• b = −3
• с = −4

Подставим их в формулу и найдем корни.

Обязательно выучите наизусть формулу для нахождения корней.

С её помощью решается любое квадратное уравнение.

Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

В данном виде определить коэффициенты « a », « b » и « c » довольно сложно. Давайте вначале приведем уравнение к общему виду « ax 2 + bx + c = 0 ».

Теперь можно использовать формулу для корней.

Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.

Мы помним из определения квадратного корня о том, что извлекать квадратный корень из отрицательного числа нельзя.

Рассмотрим пример квадратного уравнения, у которого нет корней.

Итак, мы получили ситуацию, когда под корнем стоит отрицательное число. Это означает, что в уравнении нет корней. Поэтому в ответ мы так и записали «Нет действительных корней».

Что означают слова «нет действительных корней»? Почему нельзя просто написать «нет корней»?

На самом деле корни в таких случаях есть, но в рамках школьной программы они не проходятся, поэтому и в ответ мы записываем, что среди действительных чисел корней нет. Другими словами «Нет действительных корней».

Неполные квадратные уравнения

Иногда встречаются квадратные уравнения, в которых отсутсвуют в явном виде коэффициенты « b » и/или « c ». Как например, в таком уравнении:

Такие уравнения называют неполными квадратными уравнениями. Как их решать рассмотрено в уроке «Неполные квадратные уравнения».

В математике корни могут быть квадратными, кубическими или иметь любой другой показатель (степень), который пишется слева над знаком корня. Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением. Сложение корней похоже на сложение членов алгебраического выражения, то есть требует определения подобных корней.

Шаги

Часть 1 из 2: Определение корней

Обозначение корней. Выражение под знаком корня () означает, что из этого выражения необходимо извлечь корень определенной степени.

• Корень обозначают знаком.
• Показатель (степень) корня пишется слева над знаком корня. Например, кубический корень из 27 записывается так: (27)
• Если показатель (степень) корня отсутствует, то показатель считается равным 2, то есть это квадратный корень (или корень второй степени).
• Число, записанное перед знаком корня, называется множителем (то есть это число умножается на корень), например 5 (2)
• Если множителя перед корнем нет, то он равен 1 (напомним, что любое число, умноженное на 1, равняется самому себе).
• Если вы впервые работаете с корнями, сделайте соответствующие пометки над множителем и показателем корня, чтобы не запутаться и лучше понять их назначение.

Запомните, какие корни можно складывать, а какие нельзя. Так же, как нельзя складывать разные члены выражения, например, 2а + 2b 4ab, вы не можете складывать разные корни.

Нельзя складывать корни с разными подкоренными выражениями, например, (2) + (3) (5). Но вы можете сложить числа, стоящие под одним корнем, например, (2 + 3) = (5) (квадратный корень из 2 примерно равен 1,414, квадратный корень из 3 примерно равен 1,732, а квадратный корень из 5 примерно равен 2,236).

Нельзя складывать корни с одинаковыми подкоренными выражениями, но разными показателями, например, (64) + (64) (эта сумма не равна (64), так как квадратный корень из 64 равен 8, кубический корень из 64 равен 4, 8 + 4 = 12, что гораздо больше, чем корень пятой степени из 64, который примерно равен 2,297).

Часть 2 из 2: Упрощение и сложение корней

Определите и сгруппируйте подобные корни. Подобные корни – корни, у которых одинаковые показатели и одинаковые подкоренные выражения. Например, рассмотрим выражение:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Во-первых, перепишите выражение так, чтобы корни с одинаковым показателем располагались последовательно.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Затем перепишите выражение так, чтобы корни с одинаковым показателем и с одинаковым подкоренным выражением располагались последовательно.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Упростите корни. Для этого разложите (где возможно) подкоренные выражения на два множителя, один из которых вынесите из-под корня. В этом случае вынесенное число и множитель корня перемножаются.

В приведенном выше примере разложите число 50 на 2*25, а число 32 – на 2*16. Из 25 и 16 можно извлечь квадратные корни (соответственно 5 и 4) и вынести 5 и 4 из-под корня, соответственно умножив их на множители 2 и 1. Таким образом, вы получите упрощенное выражение: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Число 81 можно разложить на множители 3*27, а из числа 27 можно извлечь кубический корень, равный 3. Это число 3 можно вынести из-под корня. Таким образом, вы получите еще более упрощенное выражение: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3)+ 6 (3) + 3 (3)

Сложите множители подобных корней. В нашем примере есть подобные квадратные корни из 2 (их можно сложить) и подобные квадратные корни из 3 (их тоже можно сложить). У кубического корня из 3 подобных корней нет.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Окончательное упрощенное выражение: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• Не существует общепринятых правил порядка записи корней в выражении. Потому вы можете записывать корни в порядке возрастания их показателей и в порядке возрастания подкоренных выражений.

Внимание, только СЕГОДНЯ!

Все интересное

Число, которое находится под знаком корня, часто мешает решению уравнения, с ним неудобно работать. Даже если оно возведено в степень, дробно или не может быть представлено в виде целого числа в определенной степени, можно попытаться вывести его из…

Корнем из числа x называется такое число, которое при возведении в степень корня будет равно x. Множителем называется умножаемое число. То есть, в выражении вида x*ª-&radic-y нужно внести x под корень. Инструкция 1Определите степень…

Если подкоренное выражение содержит набор математических действий с переменными, то иногда в результате его упрощения есть возможность получить относительно простое значение, часть которого можно вынести из под корня. Бывает полезно такое упрощение…

Арифметические действия с корнями различной степени могут значительно упростить расчеты в физике и технике и сделать их более точными. При умножении и делении удобнее не извлекать корень из каждого сомножителя или делимого и делителя, а сначала…

Квадратным корнем из числа x называют число a, которое при умножении само на себя дает число x: a * a = a^2 = x, x = a. Как и над любыми числами, над квадратными корнями можно выполнять арифметические операции сложения и вычитания. Инструкция …

Корень в математике может иметь два значения: это арифметическое действие и каждое из решений уравнения, алгебраического, параметрического, дифференциального или любого другого. Инструкция 1Корень n-ной степени из числа a - это такое число, что…

При выполнении различных арифметических действий с корнями часто бывает необходимо умение преобразовывать подкоренные выражения. Для упрощения расчетов может понадобиться вынести множитель за знак радикала или внести под него. Это действие можно…

Корнем называют значок, обозначающий математическую операцию нахождения такого числа, возведение которого в указанную перед знаком корня степень должно дать число, указанное под этим самым знаком. Часто для решения задач, в которых присутствуют…

Знаком корня в математических науках называется условное обозначение для корней. Число, находящееся под знаком корня, называется подкоренным выражением. При отсутствии показателя степени корень является квадратным, в противном случае цифра указывает…

Арифметическим корнем n-й степени из действительного числа a называют такое неотрицательное число x, n-я степень которого равна числу a. Т.е. (n) a = x, x^n = a. Существуют различные способы сложения арифметического корня и рационального числа.…

Корнем n-ой степени из действительного числа a называется такое число b, для которого выполняется равенство b^n = a. Корни нечетной степени существуют для отрицательных и положительных чисел, а корни четной степени - только для положительных.…

Формулы корней. Свойства квадратных корней.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень . Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней , каковы свойства корней , и что со всем этим можно делать.

Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями - это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да...

Начнём с самой простой. Вот она:

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Тема про квадратные корни является обязательной в школьной программе курса математики. Без них не обойтись при решении квадратных уравнений. А позже появляется необходимость не только извлекать корни, но и выполнять с ними другие действия. Среди них достаточно сложные: возведение в степень, умножение и деление. Но есть и достаточно простые: вычитание и сложение корней. Кстати, они только на первый взгляд кажутся такими. Выполнить их без ошибок не всегда оказывается просто для того, кто только начинает с ними знакомиться.

Что такое математический корень?

Это действие возникло в противовес возведению в степень. Математика предполагает наличие двух противоположных операций. На сложение существует вычитание. Умножению противостоит деление. Обратное действие степени — это извлечение соответствующего корня.

Если в степени стоит двойка, то и корень будет квадратным. Он является самым распространенным в школьной математике. У него даже нет указания, что он квадратный, то есть возле него не приписывается цифра 2. Математическая запись этого оператора (радикала) представлена на рисунке.

Из описанного действия плавно вытекает его определение. Чтобы извлечь квадратный корень из некоторого числа, нужно выяснить, какое даст при умножении на себя подкоренное выражение. Это число и будет квадратным корнем. Если записать это математически, то получится следующее: х*х=х 2 =у, значит √у=х.

Какие действия с ними можно выполнять?

По своей сути корень — это дробная степень, у которой в числителе стоит единица. А знаменатель может быть любым. Например, у квадратного корня он равен двум. Поэтому все действия, которые можно выполнить со степенями, будут справедливы и для корней.

И требования к этим действиям у них одинаковые. Если умножение, деление и возведение в степень не встречают затруднений у учеников, то сложение корней, как и их вычитание, иногда приводит в замешательство. А все потому что хочется выполнить эти операции без оглядки на знак корня. И здесь начинаются ошибки.

По каким правилам выполняется их сложение и вычитание?

Сначала нужно запомнить два категорических «нельзя»:

• нельзя выполнять сложение и вычитание корней, как у простых чисел, то есть невозможно записать подкоренные выражения суммы под один знак и выполнять с ними математические операции;
• нельзя складывать и вычитать корни с разными показателями, например квадратный и кубический.

Наглядный пример первого запрета: √6 + √10 ≠ √16, но √(6 + 10) = √16 .

Во втором случае лучше ограничиться упрощением самих корней. А в ответе оставить их сумму.

Теперь к правилам

1. Найти и сгруппировать подобные корни. То есть те, у которых не только стоят одинаковые числа под радикалом, но и они сами с одним показателем.
2. Выполнить сложение корней, объединенных в одну группу первым действием. Оно легко осуществимо, потому что нужно только сложить значения, которые стоят перед радикалами.
3. Извлечь корни в тех слагаемых, в которых подкоренное выражение образует целый квадрат. Другими словами, не оставлять ничего под знаком радикала.
4. Упростить подкоренные выражения. Для этого нужно разложить их на простые множители и посмотреть, не дадут ли они квадрата какого-либо числа. Понятно, что это справедливо, если речь идет о квадратном корне. Когда показатель степени три или четыре, то и простые множители должны давать куб или четвертую степень числа.
5. Вынести из-под знака радикала множитель, который дает целую степень.
6. Посмотреть, не появилось ли опять подобных слагаемых. Если да, то снова выполнить второе действие.

В ситуации, когда задача не требует точного значения корня, его можно вычислить на калькуляторе. Бесконечную десятичную дробь, которая высветится в его окошке, округлить. Чаще всего это делают до сотых. А потом выполнять все операции для десятичных дробей.

Это вся информация о том, как выполняется сложение корней. Примеры, расположенные ниже, проиллюстрируют вышесказанное.

Первое задание

Вычислить значение выражений:

а) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

б) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

в) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

а) Если следовать приведенному выше алгоритму, то видно, что для первых двух действий в этом примере ничего нет. Зато можно упростить некоторые подкоренные выражения.

Например, 32 разложить на два множителя 2 и 16; 18 будет равно произведению 9 и 2; 128 — это 2 на 64. Учитывая это, выражение будет записано так:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Теперь нужно вынести из-под знака радикала те множители, которые дают квадрат числа. Это 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 . Выражение примет вид:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Нужно немного упростить запись. Для этого производится умножение коэффициентов перед знаками корня:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

В этом выражении все слагаемые оказались подобными. Поэтому их нужно просто сложить. В ответе получится: 5√2.

б) Подобно предыдущему примеру, сложение корней начинается с их упрощения. Подкоренные выражения 75, 147, 48 и 300 будут представлены такими парами: 5 и 25, 3 и 49, 3 и 16, 3 и 100. В каждой из них имеется число, которое можно вынести из-под знака корня:

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

После упрощения получается ответ: 5√5 - 5√3. Его можно оставить в таком виде, но лучше вынести общий множитель 5 за скобку: 5 (√5 - √3).

в) И снова разложение на множители: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. После вынесения множителей из-под знака корня имеем:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. После приведения подобных слагаемых получим результат: 7√11.

Пример с дробными выражениями

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

На множители нужно будет разложить такие числа: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Аналогично уже рассмотренным, нужно вынести множители из-под знака корня и упростить выражение:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Это выражение требует того, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе. Для этого нужно умножить на √2/√2 второе слагаемое:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Для полноты действий нужно выделить целую часть у множителей перед корнями. У первого она равна 1, у второго — 2.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.